Seminario ANC

Seminario de Análisis No Conmutativo

(Septiembre – Diciembre, 2020)




Este seminario tiene como objetivo estudiar algunas nociones y resultados básicos del análisis
no conmutativo, e.g., análisis armónico libre, analiticidad de funciones no conmutativas, sub-
ordinación valuada en operadores. A grandes rasgos, esta área tiene como propósito establecer
análogos a resultados clásicos de la variable compleja cuando los números complejos son rem-
plazados por operadores en espacios de Hilbert.

Durante el período de Febrero a Mayo de 2020, el seminario se enfocó en el análisis armónico
libre y la teoría de funciones no conmutativas. Específicamente, se estudiaron las nociones de
transformada R, convolución aditiva libre y funciones no conmutativas. Este semestre el semi-
nario tiene como objetivo estudiar la noción de libertad en probabilidad libre y su relación con
la transformada R. Además, se estudiará la versión valuada en operadores de esta transformada,
así como la función no conmutativa que esta define. Por último, se estudiaran los resultados
fundamentales de Belinschi, Mai & Speicher acerca de la convolución aditiva libre valuada en
operadores.

Horario:
          Jueves 3:00pm – 4:00pm
          Favor de solicitar el enlace a Ricardo Guerrero

Organizadores:
          Mario Diaz, IIMAS - UNAM (mario.diaz@sigma.iimas.unam.mx)
          Ricardo Guerrero, CIMAT (ricardo.guerrero@cimat.mx)
          Francisco Torres, Facultad de Ciencias - UNAM (tfrancisco@ciencias.unam.mx)


Bibliografía Básica


Bitácora

Fecha Temas cubiertos
24/Septiembre Revisamos las nociones de espacio de probabilidad no conmutativo, variable aleatoria no conmutativa y distribución no conmutativa. Además, introdujimos la definición de libertad. (Contenido tomado del libro Lectures on the Combinatorics of Free Probability Theory de Nica & Speicher.)
01/Octubre Presentamos la definición de libertad, así como algunas consecuencias sencillas que se siguen de esta. Definimos la convolución aditiva libre y mostramos un método analítico para calcularla, introduciendo así la transformada de Cauchy y la transformada R. Terminamos mostrando brevemente la idea de subordinación. (Contenido tomado de los libros Lectures on the Combinatorics of Free Probability de Nica & Speicher y Free Probability and Random Matrices de Mingo & Speicher.)
08/Octubre Estudiamos la Convolución Aditiva Libre y vimos dos maneras para calcularla analíticamente: la Transformada R y el método de Subordinación. (Contenido tomado del libro Free Probability and Random Matrices de Mingo & Speicher y del artículo A New Approach to Subordination Results in Free Probability de Bercovici & Belinschi.)
15/Octubre Introdujimos la combinatoria de particiones que permite dar una descripción de la distribución de una variable aleatoria no conmutativa y que caracteriza la libertad. También motivamos el estudio de la Probabilidad Libre Valuada en Operadores e introdujimos las definiciones correspondientes. (Contenido tomado de Free Probability Lecture Notes y Non-Commutative Distributions Lecture Notes de Speicher.)
22/Octubre Estudiamos los Espacios de Probabilidad No Conmutativos Valuados en Operadores y la noción de Libertad que se define en ellos. Vimos algunas consecuencias de la definición y de las extensiones matriciales de los espacios. Terminamos estudiando algunas propiedades de la Transformada de Cauchy Valuada en Operadores. (Contenido tomado de Non-Commutative Distributions Lecture Notes de Speicher.)
29/Octubre Esta charla fue un preámbulo al artículo Analytic Subordination Theory of Operator-Valued Free Additive Convolution and the Solution of a General Random Matrix Problem. Presentamos algunas ideas básicas sobre el problema principal y recordamos brevemente algunas de las propiedades de la Transformada de Cauchy Valuada en Operadores. Vimos como éstas propiedades motivan la introducción de conjuntos y funciones no conmutativas.
05/Noviembre Presentamos definiciones y resultados en la teoría de Espacios de Banach que se usarán frecuentemente en lo subsecuente. Una parte importante se centra en el Teorema de Earle-Hamilton, que generaliza el principio de Punto Fijo de Banach y que sirve para encontrar subordinaciones en la teoría de Probabilidad Libre Valuada en Operadores.
12/Noviembre Presentamos definiciones y resultados esenciales en la teoría de Álgebras C*, con particular atención en las propiedades de la Transformada de Cauchy y la transformada R valuada en operadores.
19/Noviembre  – POSPUESTO –
26/Noviembre En esta charla enunciamos el teorema principal que proporciona resultados de subordinación, en el contexto de espacios de probabilidad-C*. Al ser el resultado bastante técnico, se presentaron las herramientas e ideas principales tras su demostración.
03/Diciembre
10/Diciembre



Última actualización: 27 de noviembre de 2020